有限可定义性概念将导致悖论

法国数学家理查德第一次发现这个悖论,因此常被称为理查德悖论。理查德考察的例子是这样的:考虑可用有限字效定义的一切小数,这构成了一个可列的(可数的)集合,我们可以将这些小数排列成一张表,类似康托的对角线方法,我们定义一个小数a如下,如果在上述数表中第n列小数的第n位数字为1则a的第n位数字为。否则a的第n位数字为1.用这样一句话定义的小数显然是有限宇数可定义的,但a与表中的每一个小数都不相同,因此a不会出现于表中,从而导致矛盾。这个悖论的构造由于与对角线方法有惊人的相似,从而引起了数学界对悖论问题的更进一步的兴趣。莱姆赛后来把当时已经发现的悖论分为两种类型,一种是“逻辑的”,如罗素悖论,一种是认识论的或语义学的,理查德悖论就属于这一种。他指出,逻辑悖论可以由简单类型论而防止,语义学悖论则可以在一符号语言中防止.在那样的符号语言中,将无法表述叙述同一语言的表达式,这也就防止了自指语句的出现.理查德悖论的意义主要在于引起了数学界对悖论的进一步注意,认识到悖论出现有其深刻的原因,从而影响了在数学基础问题上互相对立的三大学派的产生。

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