重建数学基础,捍卫古典数学

德国数学家大卫•希尔伯特对数学基础问题的看法。希尔伯特反对布劳维等直觉主义者的看法,认为只有能够被构造的数学才有其存在的合法性.相反,希尔伯特认为:直觉主义的做法是“要把我们的科学肢解,使它残缺不全.如果我们接受这种改革方法,我们就要冒失去我们最有价值的宝藏一大部分的危险.”与直觉主义者强烈反对实无穷的观点不同,希尔伯特把它看成是:“最美妙的数学精神的花朵”,而且“我们一定不许人们逼我们离开康托为我们创造的天堂”。希尔伯特也不同于逻辑主义者如罗素等人认为数学是可以从逻辑中推导出来的,而认为要同时发展逻辑规律和数学规律,否认上述推导的可能性。恰当的观点是:只要是不会出现逻辑矛盾的数学理论,也就是具有一致性的数学理论,都是我们可以接受的。在此基础上他提出了著名的希尔伯特方案,主要是以卜几个步骤:(1)把古典数学中待考察的基本理论严格形式化,加上逻辑演算,形成—形式公理系统; (2)从不假定实无穷的严格有穷观点出发,建立一逻辑系统作为研究上述形式系统的工具,这种逻辑系统可以称为“元数学’或“有穷逻辑”;(3)用元数学来研究(1)中的形式系统是不是包含着矛盾,即研究它是否一致。研究是针对系统的逻辑性质的,特别是其中的证明,这正是所谓的“证明论”.在上述方案中可以看出希尔伯特是认真考虑了直觉主义者推许的构造方法,这是一种较一般递归为弱的能行方法.希尔伯特对他的方案怀有很大信心,开始时也取得了一定成果,但很快希尔伯特方案就受到致命的打击.哥德尔于1931午发表的不完全定理表明在较复杂的形式系统中其一致性在系统内复杂的形式系统中其一致性在系统内是得不到证明的。这样,形式主义者不得不放弃有穷方法。1936午甘岑用超穷归纳法得到一阶算术的致性证明。但是没有最后成功的希尔伯特方案却取得了很大的影响,在这个方案的大旗下曾聚有一大批杰出的数学家,他们的学派称为形式主义学派。虽然希尔伯特方案没有成功,但是它带来了丰富的研究成果,证明论的研究方向就是从此诞生的,而且它的失败甩使我们进一步加深了对数学本质的认识。

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