存在必须被构造

德国数学家布劳维提出的关于数学本质的著名口号,这也是直觉主义学派的基本观点。逻辑主义学派和形式主义学派都坚持实无穷的观点,而直觉主义学派则从对人的直觉入手来讨论无穷。他们认为:原始直觉是每个人都具有的一种能力,在某一个时刻把注意力集中于一个事物上,紧接着又把注意力转移到另一个事物上去,而把他们重新结合起来就是“赤裸裸的合二为一的直觉”,由此出发,我们可以得到自然数列的概念。直觉主义把自然数看作为整个数学的出发点。德国著名数学家、构造主义者克罗内克有句名言:上帝创造了自然数,余下的都是人的工作了.在直觉主义者看来,无穷只是一个不断创造而又不能完成的过程,是潜存于过程之中,而不是作为已经完成了的整体而存在。显然他们反对实无穷的观念,更进一步地,他们认为正是实无穷观点导致了数学基础上悖论的产生。直觉主义者必然会接受早期构造主义的观点,从而提出:存在必须被构造.要断言一个事物的存在,就必须把它确确实实地构造出来。如何理解“构造”的涵义呢?对此并没有清晰的阐述,而倾向于去理解构造性证明为可以在想像中由一个经验完成的证明。他们断言数学中一切令人满意的证明都是构造性的.下面的命题证明是典型非构造性的,可以帮助我们理解构造性的含义:存在无理数的无理数次幂为有理和。证明如下:考虑00000000000000000若它是有理数,则命题得证,若它是无理数,则00000000=2是有理数。综合两方面的情况命题得证。但从这个证明过程中我们并不知道哪一个数幂是有理数,因此这是非构造性的。我们应注意到排中律是不被直觉主义所承认的。布劳维认为:排中律是我们对有穷事物作概括而得出的结论,而一旦扩展到无穷上去,则它就失效了。显然,直觉主义逻辑不同于古典逻辑,但对古典命题逻辑作出构造性解释之后可以得到直觉主义命题逻辑.如A为假当且仅当有一个A的构造性证明:A为真当且仅当有一个构造使任何假定A为真的构造导致谬误,AVB为真当且仅当有一个A的构造性证明或一个B的构造性证明;如此等等。第一个直觉主义系统是德国数学家海丁于1930年提出的,后来哥德尔表明了它实际上等价于一个模态系统。直觉主义在数学上影响极大,全部数学在构造性标准下被重新检查,没有得到构造性证明的定理很多被重新用构造性方法证明。现代的直觉主义者已经不像者一辈的直觉主义者那么态度蛮横强硬了,大多数的数学家都持一种温和的中立态度。实际上,构造性方法是一种较弱的能行性方法,强调构造性有其重要的意义,但要依此为据来排斥内容丰富的其他数学内容,则是没有必要的和过份的。

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