全部数学可以从逻辑中导出

英国逻辑学家、哲学家罗素提出的对数学基础问题的观点。德国逻辑学家弗雷格也有相同的看法.坚持这种观点的人被称为逻辑主义者.逻辑主义学派是本世纪在数学基础问题上影响很大的三大学派之一。弗雷格只建立了一个初步严格的逻辑演算,虽然他坚信数学是可以从逻辑的基本原理中导出,但具体工作是在罗素与怀特海合著的(数学原理》中完成的。在这本书中,罗素采用了皮亚诺的符号语言,利用弗雷格的演算思想,并且在增加两条公理——乘法公理和无穷公理的基础上推导出一般算术与康托集合论,进而推导出大部分的数学。在集合论中出现的悖论是通过罗素提出的类型论加以解决的。乘法原理现在一般称为选择公理,这是由策梅罗首先表述的.其内容是:任一由非空集合组成的集合族上存在一选择函数。所谓选择函数,就是在每一个集合之中选取一个属于自身的元素。罗素举过一个很好的例子来说明选择公理:假定有无穷多的鞋,我们可以通过说明选取左脚的那只鞋而确定地从每双鞋中选取一只,但若把鞋换成袜子,则就必须用选择公理了,因为袜子是没有左右之分的,而且对于无穷双袜子不能一个一个地去选,而只有用选择公理才能确定地从一双当中选出一只来。无穷公理是断言“存在着一个无穷集合”。这两个公理都不是直观上显然的,因此加上这两个公理之后,从逻辑中才能推出数学,其价值便大打折扣,而且没有什么更好的方法来避免这样做。《数学原理》是数理逻辑发展的一个里程碑,现代逻辑的发展尽源于此,但书中所倡导的从逻辑中推出全部数学的思想却很少有人注意了,几乎没有什么人会再认为数学只不过逻辑的一个分支而巳。

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